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一、范数的定义

范数是一种求向量长度的衡量方法，是一个正值标量。在数学中有多种范数定义方法，但是它们都满足以下三条性质：

1、非负性:对于任意向量x∈Rn，有∥x∥≥0，且只有当x=0时，才有 ∥x∥=0。

2、齐次性:对于任意向量x∈Rn和任意标量α∈R，有∥αx∥=|α|∥x∥。

3、三角不等式:对于任意向量x,y∈Rn，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。

二、Lp范数的计算公式

Lp范数是指对向量x中各元素绝对值的p次方和再求p次方根，即∥x∥_p=(∑|x_i|^p)^1/p，其中i∈[1,n]。其中，p的取值不同，范数也不同，以下是常见的几种范数：

1、L1范数

定义：向量x中各元素绝对值之和即为L1范数，计算公式为∥x∥₁=∑|x_i|，其中i∈[1,n]。

def l1_norm(x):
    return sum(abs(x))

2、L2范数

定义：向量x中各元素平方和再开平方即为L2范数，计算公式为∥x∥₂=√(∑|x_i|²)，其中i∈[1,n]。

import math

def l2_norm(x):
    return math.sqrt(sum(pow(i,2) for i in x))

3、L∞范数

定义：向量x中绝对值最大的元素即为L∞范数，计算公式为∥x∥_∞=max_i∈[1,n]|x_i|。

def l_inf_norm(x):
    return max(abs(i) for i in x)

三、范数的应用场景

1、优化问题：L1范数经常在稀疏优化问题中运用。例如，当我们进行特征选择或模型正则化时，L1范数能够使得优化问题的解更加稀疏，因为它会将一些不太相干的特征置于0。

2、相似性计算：L2范数通常用于度量两个向量间的相似度，尤其在深度学习中常用于计算误差函数。

3、聚类：L2范数经常被用于欧几里得空间下的K-Means聚类算法中，因为它能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。