线性代数真难，而且这个学期就要结课。学到现在（矩阵的分块），个人感觉最难的还是行列式的计算。哎哎。不过好在这些东西很有套路性，经过一番学习后，我就来总结一下——

行列式的分类

第一类 范德蒙德行列式

占坑

第二类 箭头行列式（爪型行列式）

此类行列式以形状酷似箭头而得名。

如下是一个箭头行列式。

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&p&p& cdots &p\
q&{x2}&{}&{}&{}\
q&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

要计算这种行列式，只需设法将箭头的任意一侧消去，得到一个三角行列式后即可快速计算。
现在以消去左箭头，即第一列为例：
若想消去第一列的第二个元素q，则将第二列整体乘以(-frac{q}{x2})后加到第一列，得到

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + p( – frac{q}{{x2}})}&p&p& cdots &p\
0&{x2}&{}&{}&{}\
q&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

若想消去第一列的第三个元素q，则将第三列整体乘以(-frac{q}{x3})后加到第一列，得到

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + p( – frac{q}{{x2}})+p( – frac{q}{{x3}})}&p&p& cdots &p\
0&{x2}&{}&{}&{}\
0&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

这个操作重复多次，直到得到上三角行列式

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 – pqsumlimits_{i = 2}^n {_{}} frac{1}{{xi}}}&p&p& cdots &p\
{}&{x2}&{}&{}&{}\
{}&{}&{x3}&{}&{}\
{}&{}&{}& ddots &{}\
{}&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

解得
(Dn = (x1 – pqsumlimits_{i = 2}^nfrac{1}{{xi}})prodlimits_{i = 2}^n {xi}).

第三类 两三角型行列式

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&b&b& cdots &b\
a&{x2}&b& cdots &b\
a&a&{x3}& cdots &b\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)

两三角形行列式就像所有的0都被填满了的上三角和下三角行列式。主对角线上下的元素都分别为(a)和(b)

1.当(a=b)时：

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&a&a& cdots &a\
a&{x2}&a& cdots &a\
a&a&{x3}& cdots &a\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)

如果能把主对角线下（或者上）方的所有a消去，得到一个箭头行列式，再套用上面的方法，那么问题便可解决。
要想消去(a)得到(0)，经过观察发现，第二列及其之后的所有列的第一个元素都是(a)，那么让从第二行开始的每一行都减去第一行即可。得到

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&a&a&a&a\
{a – x1}&{x2 – a}&{}&{}&{}\
{a – x1}&{}&{x3 – a}&{}&{}\
cdots &{}&{}& ddots &{}\
{a – x1}&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

化成箭头行列式：

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + a(x1 – a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi – a}}} }&a&a&a&a\
0&{x2 – a}&{}&{}&{}\
0&{}&{x3 – a}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
0&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

解得(Dn=[x1 + a(x1 – a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi – a}}}]prodlimits_{i = 2}^n {(xi-a)})

2.当(a≠b)时

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&b&b& cdots &b\
a&{x2}&b& cdots &b\
a&a&{x3}& cdots &b\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)