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• 2019年的新解决方案
• 古代阿拉伯的解决方案
• 方法如下:
• 中国古代的二次方程
• 根公式的发现

一维二次方程的求根公式(是谁发明了一维二次方程的求根公式)

众所周知，一元二次方程属于初中数学知识，其解法包括配点法、因式分解法、公式法等。在各种方法中，搭配法有其硬核的探讨，公式法有其复杂的建模，还有优雅的因式分解法，其神秘的气质令初中生又爱又恨！一维二次方程的求解已经成为数学基础的基础，而这种基本方法在21世纪催生了新的解法，势必会赚足眼球！

“一元二次方程新解”的发明者罗伯逊是卡内基梅隆大学的中国数学教授，也是美国奥林匹克数学教练，罗伯逊教授说:“如果这个方法直到今天还没有被人类发现，我会非常惊讶，因为这个学科已经有4000年的历史，数十亿人都遇到过这个公式及其证明。”

其实在古代，全世界的数学家都研究过一元二次方程。虽然没有完全相同的方法，但就其内涵而言，一些古老的解决方案与罗教授的相似。不难想到原因。古代数学家没有吠陀，更不用说代数符号了。现在罗教授的解决方案有“踩肩膀”的嫌疑。所以这个方法含金量有多高，我们不做定量判断，不妨给大家带来一元二次方程的解PK，让我们一起欣赏古今数学界神仙的精彩表演。

2019年的新解决方案

请欢迎第一位选手上台，为罗教授鼓掌！为了更直观，我们用一个例子来说明这个方法。

对于一元二次方程:x-8x+12 = 0，我们假设方程的根是R和S，

必须有:x-8x+12 = (x-r) (x-s)。

展开右侧:x-8x+12 = x-(r+s) x+RS，

左右对应相等，r+s = 8；RS=12，

关键部分来了。由于R和S的和正好是8，R和S的平均值是4，所以方程的根可以设置为4+K，4-K，而且因为RS=12，那么(4+K)(4-K)=12，那么16-K=12，那么K=2(-2是相同的结果)方程求解！如果二次项系数不是1，先把二次项系数改成1，再做上面的运算。

当这个解决方案被公开后，来自世界各地的声音。有人说这个解决方案简直太好了，不用再去背那个不正常的公式，不用再去找那个公式的小尾巴。当然，也有来自中国学生的声音:这是交叉乘法。解一个方程需要很多步骤。我们需要的不是如何解方程，而是如何在短时间内正确解方程！也有人认为，这只是维埃塔定理的一个小应用，而维埃塔定理的表述应该更一般。

无论如何，我们不得不佩服罗教授思维的新鲜感，可谓“老知识”与“新逻辑”的巧妙结合！

古代阿拉伯的解决方案

说到古代阿拉伯数学，就不得不提一个重量级的——阿尔瓦拉子模。“代数”一词源于公元825年用阿拉伯语写成的一本书的书名，其作者是花拉子模。没错，他是我们今天第二个出场的选手。说实话，第一次看到罗教授的解，马上想到了阿尔瓦拉子模，这个阿拉伯人对方程的理解简直是最高的！

在书中，阿尔·瓦拉·墨子问了一个问题:“一个正方形和这个正方形的十个根等于三十九迪拉姆。多少钱？”它看起来太圆了吗？由于当时没有发明代数符号，古代数学的方程式只能用文字来描述。我来帮你解释一下，让这个数是X，那么“平方”就是X，“平方根”就是X是根，所以“平方根”就是“X”，“这个平方的十个根”就是10X，把问题转化为解方程:X+10X=39我不得不佩服数学符号对数学的意义。这样的短符号与冗长的文字形成了鲜明的对比！)

花刺子模块给出的解是:(注:下面的“根”不是指现在方程的根，而是指平方根)

①将根数减半。在这个问题中，10减半，所以得到5；

2乘以5再加39得64；

③取64的根，即切64得到8；

④从中减去一半的根数，即8减5得3，方程求解。

有孩子发现了问题，因为二次方程有两个根，都丢了！不要慌，伟大的数学家怎么会犯如此低级的错误？因为当时的人普遍不接受负数，自然也就没有考虑负数的情况。如果可以出现负数，那么在③中，64的平方将直接得到8，然后将它们都减5，自然会得到两个根，3和﹣13。借用今天的历史传统，我们这里还是不谈负数，而是考虑平方根的正根。

花刺子模块的以下解决方案是用今天的公式设定的:

我们还可以看到，花刺子模块研究的方程是一个二次项系数为1的二次方程，即x+bx+c=0，上述方程的解设置为系数为字母的情况:

如果考虑正负平方根，二次系数不是1，这就是现代版的根公式！

当我第一次看到花刺子模方程的解时，我非常不安。我怎么会想到这个解决方案？有脑洞真的很有必要。不仅我这么认为，而且我相信他同时代的人也有这个疑问。因此，花刺子模并没有就此止步。他觉得应该给大家做一个合理的解释，于是想出了一个证明方法，并且考虑到其他同事的知识水平，这个方法肯定是大家都能接受的。事实上，他发现这种方法是几何方法，没有什么比图形更容易理解了！

方法如下:

(1)分别构造一个边长为x的正方形和一个长宽分别为x和10的矩形，使它们的面积之和为x+10x；

要理解方程X+10X=39，当图形面积为39时，边长X是多少？

②将矩形一分为二，即两个5X，然后将一个5X平移到下侧。此时面积仍为39；

③补充右下角缺失的方块，很容易知道虚线小方块的边长是5，面积是25；

(4)此时大正方形的面积是39+25=64，所以大正方形的边长是8，然后8减5得到X=3。完成解决方案！

可见，在花拉子模的计算方法中，每一步都严格对应着他的几何证明，让人服气！花拉子模之后，很多数学家也在研究二次方程。从9世纪到16世纪，几乎所有关于代数的书都是以“X+10X=39”开始讨论方程的。如果二次方程圈要祭祖，花拉子模一定是第一人选！

中国古代的二次方程

中国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦，他们的名字大家都很熟悉。我们古代的数学侧重于“计算”。可以说数学极其发达，常常让西方数学家目瞪口呆。既然要计算，就一定要涉及到“二次方程”！对于国内二次方程的求解，我们简单介绍两个时间节点的贡献，一是《算术九章》，二是《毕达哥拉斯方格图》。

(1)《九章算术》第九卷，有一个问题:“今天有不知道大小的城市，各开中间的门，北门出二十步有木，南门出一百零四步，西一千七百七十五步见木问城几何？回答:250步。”

翻译:如图，DEFG是一个小方城，北门h在DG中点，南门k在EF中点。从北门到a有一棵树20步，再从南门到到c有4步，再往西走1775步到b，正好看到a处的树木，并索要小镇的边长。

原文也给出了理解方法:“以出北门步数(20)乘以出西门步数(1775)，出南门步数(14)为从法，方子分，即边。”上文中，“实”是指常数项，“从属法”是指第一项的系数。因此可以得到二次方程:X+(20+14)X-2201775 = 0。至于如何解这个方程，只有“开方祛方”才会解这个方程，留给后人无限遐想！当然，这也很符合《九章算术》的一贯风格。给出一个问题，匹配一个答案，自己思考！后来刘辉在给《算术九章》做注时，只对为什么要这样列方程给出了合理的解释。至于方程怎么解，还是没有提到。

②公元3世纪数学家赵爽不仅给出了勾股定理完善的证明，而且给出了二次方程的解法。其中一篇论文说:“它的双弦是一个巨大的组合，让那些看到钩子和股票的人占了便宜。四个现实减少了，剩下的收入就是差额，差额减少了，剩下的就宽了，减少就是到弦上，也就是要索取。”

抽象文言文在这里就不多解释了。如果方程可以写成X-bX+c=0，那么方程的根就是X=(b-√b-4c)/2。可以看出，这几乎是二次方程的根公式，当二次项的系数为1时。更有甚者，“其双弦阔近”指的是两个根之和为B，“使钩与股票视自己为实在”指的是两个根之积为c，指的是根与系数的关系，是“维埃塔定理”的简单版本。要知道这个结论比大卫早1300多年，所以有人称赵爽为“中国的大卫”。

根公式的发现

全世界都在研究二次方程，那么大家熟悉的求二次方程根的公式是什么时候出来的呢？说出来可能会让你大吃一惊，直到1768年，伟大的数学家欧拉在中学课本上给出了求根的公式，这也是这个公式第一次出来。

虽然各路大神对二次方程都有独到的见解，但始终很难有一个“一统江湖”的普适公式。甚至在20世纪50年代，大卫就提出了“维埃塔定理”，完美地解释了根和系数之间的关系。18世纪初，牛顿提出了二次方程的根与判别式的关系。为什么寻根公式还没出来？

其实数学面前有两座山，一座是负的，一座是虚的。几千年来，人们普遍不接受这两个“怪物”的存在，并在计算中尽可能避开它们。比如负数，在生活中是看不见摸不着的，自然就不需要存在。另一个例子是虚数，它看起来更加空灵。-1的平方是多少？没有自然。负数很牵强，更不用说开处方了！问题卡在这里了。如果负数被接受，就必须给它们一个“合理”的公式，否则数学体系就不完整。人们一直在躲避他们，但就像鬼魂一样，他们在计算中总是被避开。

直到19世纪中叶，数学家对代数方法的研究越来越完善，对代数方程的研究演变为对代数系统的研究。人们终于接受了负数和虚数，于是寻根公式就产生了！