一、LU分解法解线性方程组
线性方程组是数学中的一种基本问题，LU分解法是解决线性方程组的方法之一。LU分解能够将原问题分解成两个相对简单的问题，通过解决这两个问题，从而得到原问题的解。LU分解法的主要思想是将系数矩阵拆分为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。由此，可以将解线性方程组的问题转化为解L和U两个三角形矩阵的问题。
二、LU分解法实验原理
在矩阵A进行LU分解时，首先将A进行行变换，使矩阵的元素A[1][1]是所有第一列元素中绝对值最大的，然后通过消元的方式求出L和U。其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
void lu(double A[N][N], double L[N][N], double U[N][N], int n) {
double sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
L[i][i] = 1; // 对角线上的数为1
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
sum = 0;
for (int k = 0; k < i; k++) {
sum += L[i][k] * U[k][j]; // 上三角U
}
U[i][j] = A[i][j] - sum;
}
for (int j = i; j < n; j++) {
sum = 0;
for (int k = 0; k < i; k++) {
sum += L[j][k] * U[k][i]; // 下三角L
}
L[j][i] = (A[j][i] - sum) / U[i][i];
}
}
}
三、LU分解法怎么求L和U
对于矩阵A进行LU分解求解L和U的过程，可以通过消元的方式得到。下面是具体的求解过程。
- 先将A[1][1]所在列的元素中绝对值最大的一行与第一行互换位置。即找到A[i][1]的最大值
- 通过消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
- 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
- 通过消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
- 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
- 重复以上过程，直到求出所有的L和U
四、LU分解法怎么求L
对于矩阵A进行LU分解求解L的过程，可以通过消元的方式得到。具体求解过程如下：
- 先将A[1][1]所在列的元素中绝对值最大的一行与第一行互换位置。即找到A[i][1]的最大值
- 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
- 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
- 重复以上过程，直到求出所有的L
void LU_L(double U[N][N], double L[N][N], int n){
for (int k = 0; k < n; k++)
{
for (int i = k; i < n; i++) // 消元列
{
double sum = 0;
for (int p = 0; p < k; p++)
{
sum += L[i][p] * U[p][k];
}
L[i][k] = U[i][k] - sum;
}
}
}
五、LU分解法步骤
在进行LU分解的过程中，需要准备初始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U三个参数。具体分解步骤如下：
- 将初始矩阵A进行行变换，使矩阵的元素A[1][1]是所有第一列元素中绝对值最大的
- 通过消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
- 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
- 通过消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
- 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
- 重复以上过程，直到求出所有的L和U
六、LU分解法的求解的结果分析
通过LU分解法，可以得到线性方程组的解。当L和U得到后，使用前向代入和后向代入的方式就能够求解。因此，LU分解法的主要优点在于求解效率高，解题过程也比较直观。
七、LU分解法条件
LU分解法要求矩阵A的行列式不为0，即矩阵可逆。否则，该方法将无法求解方程组。
八、LU分解法实验目的
通过对LU分解法的学习，能够掌握线性方程组的解法。同时，能够借助LU分解法对数据进行矩阵分解，并应用于其他数学问题的解决中。
九、LU分解法例题
假设要求解线性方程组：
2×1 + 4×2 – 2×3 = 2
4×1 + 9×2 – 3×3 = 8
-2×1 – 3×2 + 7×3 = 10
int main() {
double A[N][N] = {{2, 4, -2}, {4, 9, -3}, {-2, -3, 7}};
double L[N][N], U[N][N];
int n = 3;
lu(A, L, U, n);
LU_L(U, L, n);
double b[N] = {2, 8, 10};
double y[N], x[N];
func1(L, y, b, n);
func2(U, x, y, n);
printf("L矩阵：\n");
print_matrix(L, n);
printf("U矩阵：\n");
print_matrix(U, n);
printf("解为：\n");
for (int i = 0; i < n; ++i) {
printf("x%d = %lf\n", i + 1, x[i]);
}
return 0;
}
十、LU分解法公式选取
LU分解法的公式如下：
A = LU
L[i][i] = 1
U[i][j] = A[i][j] – ∑(k=1)^(i-1) L[i][k] * U[k][j], i <= j
L[i][j] = (A[i][j] – ∑(k=1)^(j-1) L[i][k] * U[k][j]) / U[j][j], i > j
