第十三讲 Penrose 广义逆矩阵(I)
一、Penrose 广义逆矩阵的定义及存在性
所谓广义，即推广了原有概念或结果。我们知道，逆矩阵概念是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵。故这一概念可推广到：（1）奇异方阵；（2）非方矩阵。事实上， Penrose广义逆矩阵涵盖了两种情况。
对于满秩方阵A, A
存在，且AA
＝A
A＝I 故，当然有
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose广义逆的启示。
Penrose定义：设A
C
，若Z
C
且使如下四个等式成立，
AZA = A, ZAZ = Z, (AZ)
= AZ , (ZA)
= ZA
则称Z为A的Moore-Penrose(广义)逆，记为，A
。
而上述四个等式有依次称为Penrose方程（i）,(ii) ,(iii) ,(iv)。
Moore-Penrose逆的存在性和唯一性
定理：任给A
C
，A
均存在且唯一。
证明：存在性. 
A
C
，均存在酉矩阵U
C
，V
C
使
U
AV = D =
即 A = UDV
其中，
是A
A的全部非零特征值。
此时，令Z＝V
U
C
则
＝
即，
其中
, 
唯一性：设Z ,Y均满足四个Penrose方程，则
即，满足四个Penrose方程的Z是唯一的.
该证明实际上给出了Moore-Penrose逆的一种构造方法。由
的唯一性可知：(1)当A 为满秩方阵时，
; (2) 
实际上还是一个限制相当严格，狭窄的量，可考虑更加放宽。
{
}-逆的定义：
，若
且满足Penrose方程中的第
个方程，则称Z为A 的
-逆，记为
，其全体记为
。
-逆共有
类，但实
际上常用的为如下5类：A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4}＝
二、{1}-逆的性质
引理： 
证明：矩阵的秩＝行秩＝列秩. 将
（1）设
,则必存在 
成为线性无关的向量组。所以，其它列向量
可表示为:
可见AB 的各列向量均为
的线性组合。亦即
(2) 同理。设
,则必存在 
成为线性无关的向量组。所以，其它列向量
可表示为:
可见，AB的各行向量均为
的线性组合，故
合起来即 
定理：设
,
则
(1) 
(2) 
(3) S、T为可逆方阵且与A可乘，则
(4) 
(
(5) 
(
)
(6) 
(7) 
(8) 
证明：(1) 
(2) 
时，
，
.显然成立.
时，
(3) 
(4) 
(5) 
又 
同理，
(6) 
,
同理
又法：将
写成
均为m维列向量，则
即 
故 
同理
又法：
又 
故 
在
中，将
换为
，
换为
,则有
(7) 以 
为例.
即
为m阶满秩可逆方阵,
存在。
又 
幂等： 
, 乘以 
，得 
(8) 
即，
使 
故
对
又，
即，
，使 
. 故
定理：矩阵A当且仅当A 为满秩方阵时具有唯一的{1}逆，此时
作业：P306 3，4，5
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