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附录 矢量与xxdxbw运算

1标量﹑矢量与xxdxbw

1.1基本概念

在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和xxdxbw。

我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。如果矢量a的三个分量分别为a1、、a2、a3，则可以表示为

也可以用以下符号表示

a=(a1,a2,a3)

矢量a的大小以a表示

a=(a12+a22+a32)1/2

我们还会遇到xxdxbw的概念，可将标量看作零阶xxdxbw，矢量看作一阶xxdxbw，在此将主要讨论二阶xxdxbw的定义。

二阶xxdxbww有9个分量，用wij表示。xxdxbww可用矩阵的形式来表示：

w

其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。若wij=wji，则称为对称xxdxbw。如果将行和列互相交换就组成xxdxbww的转置xxdxbw，记作wT,则

wT=

显然，若w是对称xxdxbw，则有w=wT。另外，如果wT=-w，w被称为反对称xxdxbw，同时有wij=-wji。任何一个二阶xxdxbw都可以写成两部分之和，一部分为对称xxdxbw，另一部分为反对称xxdxbw。

w=(w+wT)+ (w-wT)

单位xxdxbw是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的xxdxbw

是最简单的对称xxdxbw。

xxdxbw对角分量之和称为xxdxbw的迹

trw=

xxdxbw的迹是标量，如果xxdxbw的迹为零，称此xxdxbw为无迹xxdxbw。

1.2基本运算

1.2.1矢量加法与乘法运算

在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图附-1所示，减法为加法的逆运算。

?

?

?

?

?

图附-1 矢量加减法

在解析上，矢量加法(减法)为对应分量之和(差)。

A+B=

矢量的加法满足下列运算规律：

(1)?????????? 交换律 A+B=B+A

(2)?????????? 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)

(3)?????????? 零矢量的特征 A+0=0+A=A

(4)?????????? -A的特征 A+(-A)=(-A)+A=0

一标量与一矢量的乘积仍为一矢量，其方向不变，只是大小作相应改变。

cA=c

两个矢量点乘，结果为一标量，称为标量积，定义如下：

=cos

其中为矢量A、B的夹角。

单位矢量之间的标量积有特别重要的意义，用下式表示

称为克罗内克(kroneker)符号。

因此，两矢量点乘运算如下：

即两矢量点乘的结果为两矢量对应分量(值)乘积之和。显然，点乘有交换律：

两个矢量叉乘，结果为一矢量，称为矢量积，定义如下：

C=AB

矢量C的大小为C=ABsin，其中为矢量A、B的夹角 ，C的方向垂直于A、B两矢量所决定的平面，指向由右手定则确定，如图附-2所示。因此，矢量叉乘不满足交换律，

AB=-(BA)

?

?

?

?

?

图附-2 矢量叉乘

单位矢量、的矢量积在方向上得分量为：

由此引入交错单位xxdxbw(altermating unit tensor)εijk

εijk=

因此，叉乘运算可表示为

利用上述结果，标量三重积的运算如下：

介绍两个十分有用的关系式

利用上面的运算方法及关系式，可以证明以下几个常用的矢量恒等式：

=

1.2.2矢量的微分运算

矢量的微分运算符在直角坐标系中定义为

称为哈密顿算符或那勃拉算符。

应该强调指出，这个算符是一个混合物，它必须遵守处理矢量的规则和偏微分规则这两者。而且它只作为一个算符，不能单独使用，必须作用于一个标量或矢量来运算。哈密顿算符可以直接参加运算，要遵守如下规则：

(1)?????????? 用“”代替“”；

(2)?????????? 进行通常的微分运算；

(3)?????????? 进行向量运算；

(4)?????????? 整理成的形式；

(5)?????????? 用“”代替。

例：试证明

证明：

我们还会遇到一种特殊微分2A，称为 2=为lmdbd算符：

算符2作用于矢量A

2A=2

即对各分量求导，并作矢量加和。

1.2.3三阶xxdxbw的加法与乘法

首先，引入并矢的概念。由两个矢量A和B组成的并矢量是一个二阶xxdxbw，其分量是两矢量的分量之积

那么，对于单位矢量e1、e2 、e3，由两个组成的并矢量 则有9个，分别是

……

利用单位并矢量，我们可以将xxdxbw写成如下形式：

1.2.3.1xxdxbw的减法

两个xxdxbw相加(减)，前提必须是阶数相同的xxdxbw，其和(差)仍为一xxdxbw，该xxdxbw的分量为两xxdxbw对应分量