「学习笔记」向量外积(叉乘)

一 基本概念

一) 定义

向量 (vec a, vec b) 的向量积为一个向量, 记为 (vec a imes vec b), 满足

(| vec a imes vec b| =|vec a||vec b|sin heta), ( ( heta) 是 (vec a) 与 (vec b) 的夹角, 且 (0 le heta le pi)).
向量 (vec a imes vec b) 的方向与 (vec a, vec b) 垂直, 且符合右手定则.

二) 运算法则

设 (vec a=(x_1,y_1,z_1), vec b=(x_2,y_2,z_2),)

则 (vec a imes vec b = (y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)).

即, 设 (vec{a} = (x_1, y_1), vec{b} = (x_2, y_2)), 则 (| vec{a} imes vec{b} | = x_1y_2-x_2y_1).

可用三阶行列式辅助记忆 ( $vec i, vec j, vec k $ 分别为 (x,y,z) 轴上的单位向量)

[egin{align}
vec a imes vec b &=(x_1,y_1,z_1) imes (x_2,y_2,z_2) \
&=
left|
egin{array}{c}
vec i &vec j &vec k \
x_1 &y_1 &z_1 \
x_2 &y_2 &z_2 \
end{array}
ight| \
&= (y_1z_2-y_2z_1)vec i+(x_2z_1-x_1z_2)vec j+(x_1y_2-x_2y_1)vec k
end{align}
]

二 性质

一) (| vec a imes vec b|) 的几何意义为: 以 (vec a, vec b) 为邻边的平行四边形的面积.

​ 证明: 由计算式 (| vec a imes vec b| =|vec a||vec b|sin heta) 易得.

二) 设 (vec a=(x_1,y_1), vec b=(x_2,y_2)),

​ 若 (x_1y_2-x_2y_1 < 0), 则 (vec b) 在 (vec a) 的顺时针方向;

​ 若 (x_1y_2-x_2y_1 > 0), 则 (vec b) 在 (vec a) 的逆时针方向;

​ 若 (x_1y_2-x_2y_1 = 0), 则 (vec b parallel a).

​ 证明: 将 (vec a,vec b) 的坐标带入上文中的运算公式, 易得 (x_1y_2-x_2y_1) 即为 (vec a,vec b) 的向量积在 (z) 轴上的坐标. 再根据右手定则, 即可判断 (vec a,vec b) 间的方向关系

三) (vec a imes vec b = – vec b imes vec a).

​ 证明: 带入运算公式即可.