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问题

有Alice和Bob两个人，随机给他们两个数x和y(0或1)，然后A和B根据他们得到数(x和y)给两个个数a和b(0或1)。

规则如下：

如果输入的x和y都是1，那么，Alice和Bob给出不一样的数获胜；否则，Alice和Bob给出相同的数获胜。

Alice和Bob在拿到x和y后就不能交谈了，但是在拿到前可以交流。

问：Alice和Bob怎样约定获胜的可能性最大？

一共有以下十六中情况：

经典解法

我们可以看到，如果Alice和Bob随机输出a和b，即输出的a和b与输入的x和y无关，那么他们获胜了可能性是50%，也就是0.5。

如果有提前约定呢？

当输入x和y都是0的时候，Alice和Bob可以约定都出0（约定都出1也是一样的道理），这样，输入是（0，0）的25%可能是一定获胜。

但是当你的输入是1的时候，你不知道另一个人是的输入是0还是1。

如果约定出0，即，无论输入是什么都出0，则，获胜的可能性是75%，只有输入是（1，1）时失败。

如果约定出1，即，输入什么输出什么，则获胜的可能性是25%，只有输入是（0，0）才获胜。

如果约定一个出0一个出1（假设A遇1出1，B遇1出0），则成功率75%，只有在输入是（1，0）时失败。

综上，在经典解法中，成功的概率最大是0.75。

量子解法

首先我们给Alice和Bob一对bell态的量子比特（(|psiangle=frac{1}{sqrt2}|00angle + frac{1}{sqrt2}|11angle=frac{1}{sqrt2}|++angle + frac{1}{sqrt2}|–angle)）

然后他们分别根据自己的输入对自己量子比特测量，测量结果就是他们的输出。

测量方式如下：

如果Alice的输入是0，那么就在(| 0angle)、(| 1angle)基测量，如果输入是1，就在(| uangle)、(| u’angle)基测量。

如果Bob的输入是0，那么就在(| vangle)、(| v’angle)基测量，如果输入是1，就在(| wangle)、(| w’angle)基测量。

这样的获胜的可能性是多少呢？

如果输入是（0，0）：因为Alice的输入是0，所以Alice用(| 0angle)、(| 1angle)基测量，测量在不在(| 0angle)，在的话输出1，不在输出0，并且可以知道他在(| 1angle)。此时，因为Alice和bob的量子是纠缠的，Bob的量子比特也会坍缩到(| 0angle)或者(| 1angle)的位置。Bob的输入也是0，所以Bob要在(| vangle)、(| v’angle)基测量，看量子在不在(| vangle)。如果Alice的量子最终坍缩到了(| 0angle)，在(| vangle)测量得到1的概率为(cos^2frac{pi}{8})，因为(| 0angle)和(| vangle)之间的夹角是(frac{pi}{8})，则有(cos^2frac{pi}{8})的概率成功，如果Alice的量子坍缩到了(| 1angle)，则Alice的输出为0，在在(| vangle)测量得到1的概率为(cos^2frac{3pi}{8})，但是这个时候输出0才会获胜，所以成功的概率依旧是(cos^2frac{3pi}{8})。

其他输入的情况，按照上述过程，获胜的概率也都是(cos^2frac{3pi}{8})，则总的获胜概率是(cos^2frac{3pi}{8} approx 0.85)

结论

量子解法的最大成功率 (>) 经典解法的最大成功率

[0.85 > 0.75
]

量子纠缠存在

参考资料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4